{l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 19y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y және -19y мәндерін қоссаңыз, -23y мәні шығады.

$$5x-23y=0$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-23y=0$$

Теңдеудің екі жағына да 23y санын қосыңыз.

$$5x=23y$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

\frac{1}{5} санын 23y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{23}{5}y$$

Басқа теңдеуде \frac{23y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+2y=71.

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

5 санын \frac{23y}{5} санына көбейтіңіз.

$$23y+2y=71$$

23y санын 2y санына қосу.

$$25y=71$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$y=\frac{71}{25}$$

x=\frac{23}{5}y теңдеуінде \frac{71}{25} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{71}{25} санын \frac{23}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 19y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y және -19y мәндерін қоссаңыз, -23y мәні шығады.

$$5x-23y=0$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 19y мәнін қысқартыңыз.

$$5x-4y-19y=0$$

-4y және -19y мәндерін қоссаңыз, -23y мәні шығады.

$$5x-23y=0$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x+2y=71 мәнін 5x-23y=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-23y-2y=-71$$

-23y санын -2y санына қосу.

$$-25y=-71$$

Екі жағын да -25 санына бөліңіз.

$$y=\frac{71}{25}$$

5x+2y=71 теңдеуінде \frac{71}{25} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

2 санын \frac{71}{25} санына көбейтіңіз.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{142}{25} санын алып тастаңыз.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$