{l}{5x-4y=19}{3x+2y=71} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { 3 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{161}{11} = 14\frac{7}{11} \approx 14.636363636$$

$$y = \frac{149}{11} = 13\frac{6}{11} \approx 13.545454545$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-4y=19$$

Теңдеудің екі жағына да 4y санын қосыңыз.

$$5x=4y+19$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

\frac{1}{5} санын 4y+19 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{4y+19}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=71.

$$3\left(\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}\right)+2y=71$$

3 санын \frac{4y+19}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{12}{5}y+\frac{57}{5}+2y=71$$

\frac{12y}{5} санын 2y санына қосу.

$$\frac{22}{5}y+\frac{57}{5}=71$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{57}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{22}{5}y=\frac{298}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{22}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{149}{11}$$

x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5} теңдеуінде \frac{149}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{149}{11}+\frac{19}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{149}{11} санын \frac{4}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{596}{55}+\frac{19}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{19}{5} бөлшегіне \frac{596}{55} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{161}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\71\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{2}{11}\times 71\\-\frac{3}{22}\times 19+\frac{5}{22}\times 71\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{161}{11}\\\frac{149}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-4y=19,3x+2y=71$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 19,5\times 3x+5\times 2y=5\times 71$$

Қысқартыңыз.

$$15x-12y=57,15x+10y=355$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+10y=355 мәнін 15x-12y=57 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x-12y-10y=57-355$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y-10y=57-355$$

-12y санын -10y санына қосу.

$$-22y=57-355$$

57 санын -355 санына қосу.

$$-22y=-298$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$y=\frac{149}{11}$$

3x+2y=71 теңдеуінде \frac{149}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times \frac{149}{11}=71$$

2 санын \frac{149}{11} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{298}{11}=71$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{298}{11} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{483}{11}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{161}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{161}{11},y=\frac{149}{11}$$