{l}{5x-3y=6}{4x+2y=3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 6 } \\ { 4 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{21}{22}\approx 0.954545455$$

$$y=-\frac{9}{22}\approx -0.409090909$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y=6$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+6$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+6\right)$$

\frac{1}{5} санын 6+3y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{6+3y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+2y=3.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=3$$

4 санын \frac{6+3y}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{12}{5}y+\frac{24}{5}+2y=3$$

\frac{12y}{5} санын 2y санына қосу.

$$\frac{22}{5}y+\frac{24}{5}=3$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{24}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{22}{5}y=-\frac{9}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{22}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{9}{22}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} теңдеуінде -\frac{9}{22} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{9}{22}\right)+\frac{6}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{9}{22} санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{27}{110}+\frac{6}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{6}{5} бөлшегіне -\frac{27}{110} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{21}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 6+\frac{3}{22}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 6+\frac{5}{22}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{22}\\-\frac{9}{22}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y=6,4x+2y=3$$

5x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 6,5\times 4x+5\times 2y=5\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$20x-12y=24,20x+10y=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+10y=15 мәнін 20x-12y=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x-12y-10y=24-15$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y-10y=24-15$$

-12y санын -10y санына қосу.

$$-22y=24-15$$

24 санын -15 санына қосу.

$$-22y=9$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{9}{22}$$

4x+2y=3 теңдеуінде -\frac{9}{22} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+2\left(-\frac{9}{22}\right)=3$$

2 санын -\frac{9}{22} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{9}{11}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{9}{11} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{42}{11}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{21}{22}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{21}{22},y=-\frac{9}{22}$$