{l}{5x-3y=28}{12x+4y=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=-6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-3y=28$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$5x=3y+28$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

\frac{1}{5} санын 3y+28 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3y+28}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 12x+4y=0.

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

12 санын \frac{3y+28}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

\frac{36y}{5} санын 4y санына қосу.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{336}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{56}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-6$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5} теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

\frac{3}{5} санын -6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{28}{5} бөлшегіне -\frac{18}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=-6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

5x және 12x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 12 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

Қысқартыңыз.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 60x+20y=0 мәнін 60x-36y=336 мәнінен алып тастаңыз.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

60x санын -60x санына қосу. 60x және -60x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-36y-20y=336$$

-36y санын -20y санына қосу.

$$-56y=336$$

Екі жағын да -56 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

12x+4y=0 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

4 санын -6 санына көбейтіңіз.

$$12x-24=0$$

Теңдеудің екі жағына да 24 санын қосыңыз.

$$12x=24$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-6$$