{l}{5x-2y=48}{2x+3y=-23} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 48 } \\ { 2 x + 3 y = - 23 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{98}{19} = 5\frac{3}{19} \approx 5.157894737$$

$$y = -\frac{211}{19} = -11\frac{2}{19} \approx -11.105263158$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-2y=48$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$5x=2y+48$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+48\right)$$

\frac{1}{5} санын 48+2y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{48+2y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=-23.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{48}{5}\right)+3y=-23$$

2 санын \frac{48+2y}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{5}y+\frac{96}{5}+3y=-23$$

\frac{4y}{5} санын 3y санына қосу.

$$\frac{19}{5}y+\frac{96}{5}=-23$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{96}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{5}y=-\frac{211}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{211}{19}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{48}{5} теңдеуінде -\frac{211}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\left(-\frac{211}{19}\right)+\frac{48}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{211}{19} санын \frac{2}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{422}{95}+\frac{48}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{48}{5} бөлшегіне -\frac{422}{95} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{98}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\-\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\-23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\left(-23\right)\\-\frac{2}{19}\times 48+\frac{5}{19}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{19}\\-\frac{211}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-2y=48,2x+3y=-23$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 48,5\times 2x+5\times 3y=5\left(-23\right)$$

Қысқартыңыз.

$$10x-4y=96,10x+15y=-115$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+15y=-115 мәнін 10x-4y=96 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x-4y-15y=96+115$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-15y=96+115$$

-4y санын -15y санына қосу.

$$-19y=96+115$$

96 санын 115 санына қосу.

$$-19y=211$$

Екі жағын да -19 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{211}{19}$$

2x+3y=-23 теңдеуінде -\frac{211}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\left(-\frac{211}{19}\right)=-23$$

3 санын -\frac{211}{19} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{633}{19}=-23$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{633}{19} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{196}{19}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{98}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{98}{19},y=-\frac{211}{19}$$