{l}{5x-2y=14}{3x+7y=21} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 14 } \\ { 3 x + 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{140}{41} = 3\frac{17}{41} \approx 3.414634146$$

$$y = \frac{63}{41} = 1\frac{22}{41} \approx 1.536585366$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-2y=14$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$5x=2y+14$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+14\right)$$

\frac{1}{5} санын 14+2y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{14+2y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+7y=21.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{14}{5}\right)+7y=21$$

3 санын \frac{14+2y}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{6}{5}y+\frac{42}{5}+7y=21$$

\frac{6y}{5} санын 7y санына қосу.

$$\frac{41}{5}y+\frac{42}{5}=21$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{42}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{41}{5}y=\frac{63}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{41}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{63}{41}$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{14}{5} теңдеуінде \frac{63}{41} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{63}{41}+\frac{14}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{63}{41} санын \frac{2}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{126}{205}+\frac{14}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{14}{5} бөлшегіне \frac{126}{205} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{140}{41}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}&\frac{2}{41}\\-\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\21\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{41}\times 14+\frac{2}{41}\times 21\\-\frac{3}{41}\times 14+\frac{5}{41}\times 21\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{41}\\\frac{63}{41}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-2y=14,3x+7y=21$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\times 7y=5\times 21$$

Қысқартыңыз.

$$15x-6y=42,15x+35y=105$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+35y=105 мәнін 15x-6y=42 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x-6y-35y=42-105$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y-35y=42-105$$

-6y санын -35y санына қосу.

$$-41y=42-105$$

42 санын -105 санына қосу.

$$-41y=-63$$

Екі жағын да -41 санына бөліңіз.

$$y=\frac{63}{41}$$

3x+7y=21 теңдеуінде \frac{63}{41} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+7\times \frac{63}{41}=21$$

7 санын \frac{63}{41} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{441}{41}=21$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{441}{41} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{420}{41}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{140}{41}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{140}{41},y=\frac{63}{41}$$