{l}{5x-2y=1.5(x+1)}{3x-2.5y=-5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 1.5 ( x + 1 ) } \\ { 3 x - 2.5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 1.5 мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

Екі жағынан да 1.5x мәнін қысқартыңыз.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

5x және -1.5x мәндерін қоссаңыз, 3.5x мәні шығады.

$$3.5x-2y=1.5$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3.5x-2y=1.5$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$3.5x=2y+1.5$$

Теңдеудің екі жағын да 3.5 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{2}{7}\left(2y+1.5\right)$$

\frac{2}{7} санын 2y+1.5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{4y+3}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2.5y=-5.

$$3\left(\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}\right)-2.5y=-5$$

3 санын \frac{4y+3}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{12}{7}y+\frac{9}{7}-2.5y=-5$$

\frac{12y}{7} санын -\frac{5y}{2} санына қосу.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{7}=-5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{44}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{11}{14} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=8$$

x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7} теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{4}{7}\times 8+\frac{3}{7}$$

\frac{4}{7} санын 8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{32+3}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{7} бөлшегіне \frac{32}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 1.5 мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

Екі жағынан да 1.5x мәнін қысқартыңыз.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

5x және -1.5x мәндерін қоссаңыз, 3.5x мәні шығады.

$$3.5x-2y=1.5$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}&-\frac{8}{11}\\\frac{12}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\times 1.5-\frac{8}{11}\left(-5\right)\\\frac{12}{11}\times 1.5-\frac{14}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=8$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. 1.5 мәнін x+1 мәніне көбейту үшін, дистрибутивтілік сипатын пайдаланыңыз.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

Екі жағынан да 1.5x мәнін қысқартыңыз.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

5x және -1.5x мәндерін қоссаңыз, 3.5x мәні шығады.

$$3.5x-2y=1.5$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

\frac{7x}{2} және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3.5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 3.5x+3\left(-2\right)y=3\times 1.5,3.5\times 3x+3.5\left(-2.5\right)y=3.5\left(-5\right)$$

Қысқартыңыз.

$$10.5x-6y=4.5,10.5x-8.75y=-17.5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10.5x-8.75y=-17.5 мәнін 10.5x-6y=4.5 мәнінен алып тастаңыз.

$$10.5x-10.5x-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

\frac{21x}{2} санын -\frac{21x}{2} санына қосу. \frac{21x}{2} және -\frac{21x}{2} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

-6y санын \frac{35y}{4} санына қосу.

$$2.75y=\frac{9+35}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 4.5 бөлшегіне 17.5 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$2.75y=22$$

Теңдеудің екі жағын да 2.75 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=8$$

3x-2.5y=-5 теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2.5\times 8=-5$$

-2.5 санын 8 санына көбейтіңіз.

$$3x-20=-5$$

Теңдеудің екі жағына да 20 санын қосыңыз.

$$3x=15$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=8$$