{l}{5x+y=8}{3x-y=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 8 } \\ { 3 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+y=8,3x-y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+y=8$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$5x=-y+8$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+8\right)$$

\frac{1}{5} санын -y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+8}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-y=8.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)-y=8$$

3 санын \frac{-y+8}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{24}{5}-y=8$$

-\frac{3y}{5} санын -y санына қосу.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{24}{5}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{24}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{16}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{8}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

-\frac{1}{5} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2+8}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{5} бөлшегіне \frac{2}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+y=8,3x-y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{5\left(-1\right)-3}&\frac{5}{5\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{3}{8}\times 8-\frac{5}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+y=8,3x-y=8$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3y=3\times 8,5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$15x+3y=24,15x-5y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-5y=40 мәнін 15x+3y=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+3y+5y=24-40$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$3y+5y=24-40$$

3y санын 5y санына қосу.

$$8y=24-40$$

24 санын -40 санына қосу.

$$8y=-16$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

3x-y=8 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-\left(-2\right)=8$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=-2$$