{l}{5x+y=35}{7x+1,1y=40} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 35 } \\ { 7 x + 1,1 y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=30$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+y=35$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$5x=-y+35$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+35\right)$$

\frac{1}{5} санын -y+35 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{5}y+7$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{5}+7 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+1,1y=40.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+7\right)+1,1y=40$$

7 санын -\frac{y}{5}+7 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{5}y+49+1,1y=40$$

-\frac{7y}{5} санын \frac{11y}{10} санына қосу.

$$-\frac{3}{10}y+49=40$$

Теңдеудің екі жағынан 49 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{3}{10}y=-9$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{10} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=30$$

x=-\frac{1}{5}y+7 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{5}\times 30+7$$

-\frac{1}{5} санын 30 санына көбейтіңіз.

$$x=-6+7$$

7 санын -6 санына қосу.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1;y=30$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\7&1,1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1,1}{5\times 1,1-7}&-\frac{1}{5\times 1,1-7}\\-\frac{7}{5\times 1,1-7}&\frac{5}{5\times 1,1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{14}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\times 35+\frac{2}{3}\times 40\\\frac{14}{3}\times 35-\frac{10}{3}\times 40\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\30\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1;y=30$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+y=35;7x+1,1y=40$$

5x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$7\times 5x+7y=7\times 35;5\times 7x+5\times 1,1y=5\times 40$$

Қысқартыңыз.

$$35x+7y=245;35x+5,5y=200$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 35x+5,5y=200 мәнін 35x+7y=245 мәнінен алып тастаңыз.

$$35x-35x+7y-5,5y=245-200$$

35x санын -35x санына қосу. 35x және -35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7y-5,5y=245-200$$

7y санын -\frac{11y}{2} санына қосу.

$$1,5y=245-200$$

245 санын -200 санына қосу.

$$1,5y=45$$

Теңдеудің екі жағын да 1,5 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=30$$

7x+1,1y=40 теңдеуінде 30 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+1,1\times 30=40$$

1,1 санын 30 санына көбейтіңіз.

$$7x+33=40$$

Теңдеудің екі жағынан 33 санын алып тастаңыз.

$$7x=7$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1;y=30$$