{l}{5x+9y=40}{3x+7y=3} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = 40 } \\ { 3 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{253}{8} = 31\frac{5}{8} = 31.625$$

$$y = -\frac{105}{8} = -13\frac{1}{8} = -13.125$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+9y=40$$

Теңдеудің екі жағынан 9y санын алып тастаңыз.

$$5x=-9y+40$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y+40\right)$$

\frac{1}{5} санын -9y+40 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{9}{5}y+8$$

Басқа теңдеуде -\frac{9y}{5}+8 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+7y=3.

$$3\left(-\frac{9}{5}y+8\right)+7y=3$$

3 санын -\frac{9y}{5}+8 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{27}{5}y+24+7y=3$$

-\frac{27y}{5} санын 7y санына қосу.

$$\frac{8}{5}y+24=3$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$\frac{8}{5}y=-21$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{105}{8}$$

x=-\frac{9}{5}y+8 теңдеуінде -\frac{105}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{9}{5}\left(-\frac{105}{8}\right)+8$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{105}{8} санын -\frac{9}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{189}{8}+8$$

8 санын \frac{189}{8} санына қосу.

$$x=\frac{253}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-9\times 3}&-\frac{9}{5\times 7-9\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-9\times 3}&\frac{5}{5\times 7-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}&-\frac{9}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8}\times 40-\frac{9}{8}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 40+\frac{5}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{253}{8}\\-\frac{105}{8}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+9y=40,3x+7y=3$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\times 9y=3\times 40,5\times 3x+5\times 7y=5\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$15x+27y=120,15x+35y=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+35y=15 мәнін 15x+27y=120 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+27y-35y=120-15$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$27y-35y=120-15$$

27y санын -35y санына қосу.

$$-8y=120-15$$

120 санын -15 санына қосу.

$$-8y=105$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{105}{8}$$

3x+7y=3 теңдеуінде -\frac{105}{8} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+7\left(-\frac{105}{8}\right)=3$$

7 санын -\frac{105}{8} санына көбейтіңіз.

$$3x-\frac{735}{8}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{735}{8} санын қосыңыз.

$$3x=\frac{759}{8}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{253}{8}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{253}{8},y=-\frac{105}{8}$$