{l}{5x+7y=4}{x-y=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 4 } \\ { x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+7y=4,x-y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+7y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$5x=-7y+4$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+4\right)$$

\frac{1}{5} санын -7y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-7y+4}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-y=8.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

-\frac{7y}{5} санын -y санына қосу.

$$-\frac{12}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{12}{5}y=\frac{36}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{12}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-3$$

x=-\frac{7}{5}y+\frac{4}{5} теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-3\right)+\frac{4}{5}$$

-\frac{7}{5} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{21+4}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{4}{5} бөлшегіне \frac{21}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+7y=4,x-y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-7}&-\frac{7}{5\left(-1\right)-7}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-7}&\frac{5}{5\left(-1\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 4+\frac{7}{12}\times 8\\\frac{1}{12}\times 4-\frac{5}{12}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+7y=4,x-y=8$$

5x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$5x+7y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$5x+7y=4,5x-5y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5x-5y=40 мәнін 5x+7y=4 мәнінен алып тастаңыз.

$$5x-5x+7y+5y=4-40$$

5x санын -5x санына қосу. 5x және -5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7y+5y=4-40$$

7y санын 5y санына қосу.

$$12y=4-40$$

4 санын -40 санына қосу.

$$12y=-36$$

Екі жағын да 12 санына бөліңіз.

$$y=-3$$

x-y=8 теңдеуінде -3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-\left(-3\right)=8$$

Теңдеудің екі жағынан 3 санын алып тастаңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=-3$$