{l}{5x+6y=32}{3x-2y=-20} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 32 } \\ { 3 x - 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-2$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+6y=32$$

Теңдеудің екі жағынан 6y санын алып тастаңыз.

$$5x=-6y+32$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+32\right)$$

\frac{1}{5} санын -6y+32 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-6y+32}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-2y=-20.

$$3\left(-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5}\right)-2y=-20$$

3 санын \frac{-6y+32}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{96}{5}-2y=-20$$

-\frac{18y}{5} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{28}{5}y+\frac{96}{5}=-20$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{96}{5} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{28}{5}y=-\frac{196}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{28}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=-\frac{6}{5}y+\frac{32}{5} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{6}{5}\times 7+\frac{32}{5}$$

-\frac{6}{5} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-42+32}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{32}{5} бөлшегіне -\frac{42}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-6\times 3}&-\frac{6}{5\left(-2\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-6\times 3}&\frac{5}{5\left(-2\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{3}{28}&-\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\-20\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 32+\frac{3}{14}\left(-20\right)\\\frac{3}{28}\times 32-\frac{5}{28}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-2,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+6y=32,3x-2y=-20$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\times 32,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-20\right)$$

Қысқартыңыз.

$$15x+18y=96,15x-10y=-100$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-10y=-100 мәнін 15x+18y=96 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+18y+10y=96+100$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$18y+10y=96+100$$

18y санын 10y санына қосу.

$$28y=96+100$$

96 санын 100 санына қосу.

$$28y=196$$

Екі жағын да 28 санына бөліңіз.

$$y=7$$

3x-2y=-20 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-2\times 7=-20$$

-2 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$3x-14=-20$$

Теңдеудің екі жағына да 14 санын қосыңыз.

$$3x=-6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-2,y=7$$