{l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+5y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$5x=-5y+15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

\frac{1}{5} санын -5y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=-y+3$$

Басқа теңдеуде -y+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+10y=-2.

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

4 санын -y+3 санына көбейтіңіз.

$$-4y+12+10y=-2$$

-4y санын 10y санына қосу.

$$6y+12=-2$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$6y=-14$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{7}{3}$$

x=-y+3 теңдеуінде -\frac{7}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

-1 санын -\frac{7}{3} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{3}+3$$

3 санын \frac{7}{3} санына қосу.

$$x=\frac{16}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

5x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 20x+50y=-10 мәнін 20x+20y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

20x санын -20x санына қосу. 20x және -20x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y-50y=60+10$$

20y санын -50y санына қосу.

$$-30y=60+10$$

60 санын 10 санына қосу.

$$-30y=70$$

Екі жағын да -30 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{7}{3}$$

4x+10y=-2 теңдеуінде -\frac{7}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

10 санын -\frac{7}{3} санына көбейтіңіз.

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{70}{3} санын қосыңыз.

$$4x=\frac{64}{3}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{16}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$