{l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+4y=-3$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$5x=-4y-3$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

\frac{1}{5} санын -4y-3 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4y-3}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+3y=-2.

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

6 санын \frac{-4y-3}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

-\frac{24y}{5} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{18}{5} санын қосыңыз.

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{9}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{8}{9}$$

x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} теңдеуінде -\frac{8}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{8}{9} санын -\frac{4}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{3}{5} бөлшегіне \frac{32}{45} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

5x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 30x+15y=-10 мәнін 30x+24y=-18 мәнінен алып тастаңыз.

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

30x санын -30x санына қосу. 30x және -30x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$24y-15y=-18+10$$

24y санын -15y санына қосу.

$$9y=-18+10$$

-18 санын 10 санына қосу.

$$9y=-8$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{8}{9}$$

6x+3y=-2 теңдеуінде -\frac{8}{9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

3 санын -\frac{8}{9} санына көбейтіңіз.

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{8}{3} санын қосыңыз.

$$6x=\frac{2}{3}$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$