{l}{5x+3y=6}{7x+5y=56} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 7 x + 5 y = 56 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{69}{2} = -34\frac{1}{2} = -34.5$$

$$y = \frac{119}{2} = 59\frac{1}{2} = 59.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x+3y=6,7x+5y=56$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x+3y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$5x=-3y+6$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

\frac{1}{5} санын -3y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+6}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+5y=56.

$$7\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=56$$

7 санын \frac{-3y+6}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{42}{5}+5y=56$$

-\frac{21y}{5} санын 5y санына қосу.

$$\frac{4}{5}y+\frac{42}{5}=56$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{42}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{4}{5}y=\frac{238}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{4}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{119}{2}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} теңдеуінде \frac{119}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{119}{2}+\frac{6}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{119}{2} санын -\frac{3}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{357}{10}+\frac{6}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{6}{5} бөлшегіне -\frac{357}{10} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{69}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{69}{2},y=\frac{119}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x+3y=6,7x+5y=56$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{5\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{5\times 5-3\times 7}&\frac{5}{5\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{7}{4}&\frac{5}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\56\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 56\\-\frac{7}{4}\times 6+\frac{5}{4}\times 56\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{69}{2}\\\frac{119}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{69}{2},y=\frac{119}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x+3y=6,7x+5y=56$$

5x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$7\times 5x+7\times 3y=7\times 6,5\times 7x+5\times 5y=5\times 56$$

Қысқартыңыз.

$$35x+21y=42,35x+25y=280$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 35x+25y=280 мәнін 35x+21y=42 мәнінен алып тастаңыз.

$$35x-35x+21y-25y=42-280$$

35x санын -35x санына қосу. 35x және -35x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$21y-25y=42-280$$

21y санын -25y санына қосу.

$$-4y=42-280$$

42 санын -280 санына қосу.

$$-4y=-238$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=\frac{119}{2}$$

7x+5y=56 теңдеуінде \frac{119}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+5\times \frac{119}{2}=56$$

5 санын \frac{119}{2} санына көбейтіңіз.

$$7x+\frac{595}{2}=56$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{595}{2} санын алып тастаңыз.

$$7x=-\frac{483}{2}$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{69}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{69}{2},y=\frac{119}{2}$$