{l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=0.1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$40x+720y=112$$

Теңдеудің екі жағынан 720y санын алып тастаңыз.

$$40x=-720y+112$$

Екі жағын да 40 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

\frac{1}{40} санын -720y+112 санына көбейтіңіз.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

Басқа теңдеуде -18y+\frac{14}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 120x+2205y=340.5.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

120 санын -18y+\frac{14}{5} санына көбейтіңіз.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

-2160y санын 2205y санына қосу.

$$45y+336=340.5$$

Теңдеудің екі жағынан 336 санын алып тастаңыз.

$$45y=4.5$$

Екі жағын да 45 санына бөліңіз.

$$y=0.1$$

x=-18y+\frac{14}{5} теңдеуінде 0.1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

-18 санын 0.1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{14}{5} бөлшегіне -1.8 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=0.1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

40x және 120x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 120 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 40 санына көбейтіңіз.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

Қысқартыңыз.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4800x+88200y=13620 мәнін 4800x+86400y=13440 мәнінен алып тастаңыз.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

4800x санын -4800x санына қосу. 4800x және -4800x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

86400y санын -88200y санына қосу.

$$-1800y=13440-13620$$

13440 санын -13620 санына қосу.

$$-1800y=-180$$

Екі жағын да -1800 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{10}$$

120x+2205y=340.5 теңдеуінде \frac{1}{10} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

2205 санын \frac{1}{10} санына көбейтіңіз.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{441}{2} санын алып тастаңыз.

$$120x=120$$

Екі жағын да 120 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$