{l}{4x-y=14}{6x+y=16} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 14 } \\ { 6 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-y=14$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$4x=y+14$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+14\right)$$

\frac{1}{4} санын y+14 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{4}+\frac{7}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x+y=16.

$$6\left(\frac{1}{4}y+\frac{7}{2}\right)+y=16$$

6 санын \frac{y}{4}+\frac{7}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{2}y+21+y=16$$

\frac{3y}{2} санын y санына қосу.

$$\frac{5}{2}y+21=16$$

Теңдеудің екі жағынан 21 санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{2}y=-5$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{7}{2} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{7}{2}$$

\frac{1}{4} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-1+7}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{2} бөлшегіне -\frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-6\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-6\right)}\\-\frac{6}{4-\left(-6\right)}&\frac{4}{4-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 14+\frac{1}{10}\times 16\\-\frac{3}{5}\times 14+\frac{2}{5}\times 16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-y=14,6x+y=16$$

4x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$6\times 4x+6\left(-1\right)y=6\times 14,4\times 6x+4y=4\times 16$$

Қысқартыңыз.

$$24x-6y=84,24x+4y=64$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 24x+4y=64 мәнін 24x-6y=84 мәнінен алып тастаңыз.

$$24x-24x-6y-4y=84-64$$

24x санын -24x санына қосу. 24x және -24x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y-4y=84-64$$

-6y санын -4y санына қосу.

$$-10y=84-64$$

84 санын -64 санына қосу.

$$-10y=20$$

Екі жағын да -10 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

6x+y=16 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-2=16$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$6x=18$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=-2$$