{l}{4x-5y=7}{2x+3y=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x-5y=7$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$4x=5y+7$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{4} санын 5y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y+7}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=1.

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

2 санын \frac{5y+7}{4} санына көбейтіңіз.

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

\frac{5y}{2} санын 3y санына қосу.

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{11}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{5}{11}$$

x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} теңдеуінде -\frac{5}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{11} санын \frac{5}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{4} бөлшегіне -\frac{25}{44} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{13}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

4x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

Қысқартыңыз.

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+12y=4 мәнін 8x-10y=14 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-10y-12y=14-4$$

-10y санын -12y санына қосу.

$$-22y=14-4$$

14 санын -4 санына қосу.

$$-22y=10$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{11}$$

2x+3y=1 теңдеуінде -\frac{5}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

3 санын -\frac{5}{11} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{15}{11} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{26}{11}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{13}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$