{l}{4x+3y=71}{7x+5y=120} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 71 } \\ { 7 x + 5 y = 120 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=17$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=71$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y+71$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+71\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y+71 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+71}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+5y=120.

$$7\left(-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4}\right)+5y=120$$

7 санын \frac{-3y+71}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{497}{4}+5y=120$$

-\frac{21y}{4} санын 5y санына қосу.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{497}{4}=120$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{497}{4} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{4}y=-\frac{17}{4}$$

Екі жағын да -4 мәніне көбейтіңіз.

$$y=17$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{71}{4} теңдеуінде 17 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times 17+\frac{71}{4}$$

-\frac{3}{4} санын 17 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-51+71}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{71}{4} бөлшегіне -\frac{51}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=17$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 7}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 7}\\-\frac{7}{4\times 5-3\times 7}&\frac{4}{4\times 5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\120\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 71+3\times 120\\7\times 71-4\times 120\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=17$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=71,7x+5y=120$$

4x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$7\times 4x+7\times 3y=7\times 71,4\times 7x+4\times 5y=4\times 120$$

Қысқартыңыз.

$$28x+21y=497,28x+20y=480$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 28x+20y=480 мәнін 28x+21y=497 мәнінен алып тастаңыз.

$$28x-28x+21y-20y=497-480$$

28x санын -28x санына қосу. 28x және -28x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$21y-20y=497-480$$

21y санын -20y санына қосу.

$$y=497-480$$

497 санын -480 санына қосу.

$$y=17$$

7x+5y=120 теңдеуінде 17 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+5\times 17=120$$

5 санын 17 санына көбейтіңіз.

$$7x+85=120$$

Теңдеудің екі жағынан 85 санын алып тастаңыз.

$$7x=35$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=17$$