{l}{4x+3y=12.5}{3x+3y=10.5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12.5 } \\ { 3 x + 3 y = 10.5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=1.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=12.5$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y+12.5$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12.5\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y+12.5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+3y=10.5.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}\right)+3y=10.5$$

3 санын -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{75}{8}+3y=10.5$$

-\frac{9y}{4} санын 3y санына қосу.

$$\frac{3}{4}y+\frac{75}{8}=10.5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{75}{8} санын алып тастаңыз.

$$\frac{3}{4}y=\frac{9}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8} теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{25}{8}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{3}{2} санын -\frac{3}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{25}{8} бөлшегіне -\frac{9}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=\frac{3}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5-10.5\\-12.5+\frac{4}{3}\times 10.5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1.5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=1.5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+3y=10.5 мәнін 4x+3y=12.5 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-3x+3y-3y=\frac{25-21}{2}$$

3y санын -3y санына қосу. 3y және -3y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4x-3x=\frac{25-21}{2}$$

4x санын -3x санына қосу.

$$x=\frac{25-21}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 12.5 бөлшегіне -10.5 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

3x+3y=10.5 теңдеуінде 2 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$3\times 2+3y=10.5$$

3 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$6+3y=10.5$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$3y=4.5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=1.5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=1.5$$