{l}{4x+3y=-7}{3x-5y=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { 3 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y=-7$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y-7$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y-7 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y-7}{4} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x-5y=2.

$$3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=2$$

3 санын \frac{-3y-7}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}-5y=2$$

-\frac{9y}{4} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{29}{4}y-\frac{21}{4}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{21}{4} санын қосыңыз.

$$-\frac{29}{4}y=\frac{29}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{29}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}$$

-\frac{3}{4} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3-7}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{4} бөлшегіне \frac{3}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-7\right)+\frac{3}{29}\times 2\\\frac{3}{29}\left(-7\right)-\frac{4}{29}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y=-7,3x-5y=2$$

4x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\left(-7\right),4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$12x+9y=-21,12x-20y=8$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x-20y=8 мәнін 12x+9y=-21 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+9y+20y=-21-8$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y+20y=-21-8$$

9y санын 20y санына қосу.

$$29y=-21-8$$

-21 санын -8 санына қосу.

$$29y=-29$$

Екі жағын да 29 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

3x-5y=2 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x-5\left(-1\right)=2$$

-5 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$3x+5=2$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$3x=-3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=-1$$