{l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+3y+14=0$$

Теңдеудің екі жағынан 14 санын алып тастаңыз.

$$4x+3y=-14$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$4x=-3y-14$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

\frac{1}{4} санын -3y-14 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

2 санын -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

-\frac{3y}{2} санын 5y санына қосу.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

-7 санын 16 санына қосу.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{18}{7}$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2} теңдеуінде -\frac{18}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{18}{7} санын -\frac{3}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{7}{2} бөлшегіне \frac{27}{14} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

4x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

Қысқартыңыз.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 8x+20y+64=0 мәнін 8x+6y+28=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

8x санын -8x санына қосу. 8x және -8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-20y+28-64=0$$

6y санын -20y санына қосу.

$$-14y+28-64=0$$

28 санын -64 санына қосу.

$$-14y-36=0$$

Теңдеудің екі жағына да 36 санын қосыңыз.

$$-14y=36$$

Екі жағын да -14 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{18}{7}$$

2x+5y+16=0 теңдеуінде -\frac{18}{7} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

5 санын -\frac{18}{7} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

-\frac{90}{7} санын 16 санына қосу.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{22}{7} санын алып тастаңыз.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{11}{7}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$