{l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{31}{9}\approx 3,444444444$$

$$y=\frac{257}{45}\approx 5,711111111$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$4x+2y=25,2$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$4x=-2y+25,2$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25,2\right)$$

\frac{1}{4} санын -2y+25,2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

-\frac{y}{2} санын 5y санына қосу.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{63}{10} санын алып тастаңыз.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{257}{45}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10} теңдеуінде \frac{257}{45} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{257}{45} санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{63}{10} бөлшегіне -\frac{257}{90} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{31}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25,2\\32\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25,2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25,2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4x+2y=25,2;x+5y=32$$

4x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+2y=25,2;4x+4\times 5y=4\times 32$$

Қысқартыңыз.

$$4x+2y=25,2;4x+20y=128$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 4x+20y=128 мәнін 4x+2y=25,2 мәнінен алып тастаңыз.

$$4x-4x+2y-20y=25,2-128$$

4x санын -4x санына қосу. 4x және -4x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-20y=25,2-128$$

2y санын -20y санына қосу.

$$-18y=25,2-128$$

25,2 санын -128 санына қосу.

$$-18y=-102,8$$

Екі жағын да -18 санына бөліңіз.

$$y=\frac{257}{45}$$

x+5y=32 теңдеуінде \frac{257}{45} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

5 санын \frac{257}{45} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{257}{9} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{31}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{31}{9};y=\frac{257}{45}$$