{l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=-2$$

$$n=-3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$4m+9n=-35$$

Теңдеудің екі жағынан 9n санын алып тастаңыз.

$$4m=-9n-35$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

\frac{1}{4} санын -9n-35 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{-9n-35}{4} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 3m-8n=18.

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

3 санын \frac{-9n-35}{4} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

-\frac{27n}{4} санын -8n санына қосу.

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{105}{4} санын қосыңыз.

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{59}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=-3$$

m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4} теңдеуінде -3 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

-\frac{9}{4} санын -3 санына көбейтіңіз.

$$m=\frac{27-35}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{35}{4} бөлшегіне \frac{27}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=-2,n=-3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=-2,n=-3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

4m және 3m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына көбейтіңіз.

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

Қысқартыңыз.

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12m-32n=72 мәнін 12m+27n=-105 мәнінен алып тастаңыз.

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

12m санын -12m санына қосу. 12m және -12m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$27n+32n=-105-72$$

27n санын 32n санына қосу.

$$59n=-105-72$$

-105 санын -72 санына қосу.

$$59n=-177$$

Екі жағын да 59 санына бөліңіз.

$$n=-3$$

3m-8n=18 теңдеуінде -3 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

-8 санын -3 санына көбейтіңіз.

$$3m+24=18$$

Теңдеудің екі жағынан 24 санын алып тастаңыз.

$$3m=-6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$m=-2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=-2,n=-3$$