{l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$361x+463y=-102$$

Теңдеудің екі жағынан 463y санын алып тастаңыз.

$$361x=-463y-102$$

Екі жағын да 361 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

\frac{1}{361} санын -463y-102 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

Басқа теңдеуде \frac{-463y-102}{361} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 463x+361y=102.

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

463 санын \frac{-463y-102}{361} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

-\frac{214369y}{361} санын 361y санына қосу.

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{47226}{361} санын қосыңыз.

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{84048}{361} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

-\frac{463}{361} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{463-102}{361}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{102}{361} бөлшегіне \frac{463}{361} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

361x және 463x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 463 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 361 санына көбейтіңіз.

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

Қысқартыңыз.

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 167143x+130321y=36822 мәнін 167143x+214369y=-47226 мәнінен алып тастаңыз.

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

167143x санын -167143x санына қосу. 167143x және -167143x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

214369y санын -130321y санына қосу.

$$84048y=-47226-36822$$

-47226 санын -36822 санына қосу.

$$84048y=-84048$$

Екі жағын да 84048 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

463x+361y=102 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

361 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$463x-361=102$$

Теңдеудің екі жағына да 361 санын қосыңыз.

$$463x=463$$

Екі жағын да 463 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-1$$