{l}{3600=30x+210y}{7920=48x+552y} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3600 = 30 x + 210 y } \\ { 7920 = 48 x + 552 y } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=50$$

$$y=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$30x+210y=3600$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$48x+552y=7920$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$30x+210y=3600,48x+552y=7920$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$30x+210y=3600$$

Теңдеудің екі жағынан 210y санын алып тастаңыз.

$$30x=-210y+3600$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{30}\left(-210y+3600\right)$$

\frac{1}{30} санын -210y+3600 санына көбейтіңіз.

$$x=-7y+120$$

Басқа теңдеуде -7y+120 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 48x+552y=7920.

$$48\left(-7y+120\right)+552y=7920$$

48 санын -7y+120 санына көбейтіңіз.

$$-336y+5760+552y=7920$$

-336y санын 552y санына қосу.

$$216y+5760=7920$$

Теңдеудің екі жағынан 5760 санын алып тастаңыз.

$$216y=2160$$

Екі жағын да 216 санына бөліңіз.

$$y=10$$

x=-7y+120 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-7\times 10+120$$

-7 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$x=-70+120$$

120 санын -70 санына қосу.

$$x=50$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=50,y=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$30x+210y=3600$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$48x+552y=7920$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$30x+210y=3600,48x+552y=7920$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&210\\48&552\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{552}{30\times 552-210\times 48}&-\frac{210}{30\times 552-210\times 48}\\-\frac{48}{30\times 552-210\times 48}&\frac{30}{30\times 552-210\times 48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{270}&-\frac{7}{216}\\-\frac{1}{135}&\frac{1}{216}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3600\\7920\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{270}\times 3600-\frac{7}{216}\times 7920\\-\frac{1}{135}\times 3600+\frac{1}{216}\times 7920\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\10\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=50,y=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$30x+210y=3600$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Теңдеу жақтарын барлық белгісіз мүшелері сол жағында болатындай етіп ауыстырыңыз.

$$48x+552y=7920$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$30x+210y=3600,48x+552y=7920$$

30x және 48x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 48 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 30 санына көбейтіңіз.

$$48\times 30x+48\times 210y=48\times 3600,30\times 48x+30\times 552y=30\times 7920$$

Қысқартыңыз.

$$1440x+10080y=172800,1440x+16560y=237600$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 1440x+16560y=237600 мәнін 1440x+10080y=172800 мәнінен алып тастаңыз.

$$1440x-1440x+10080y-16560y=172800-237600$$

1440x санын -1440x санына қосу. 1440x және -1440x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10080y-16560y=172800-237600$$

10080y санын -16560y санына қосу.

$$-6480y=172800-237600$$

172800 санын -237600 санына қосу.

$$-6480y=-64800$$

Екі жағын да -6480 санына бөліңіз.

$$y=10$$

48x+552y=7920 теңдеуінде 10 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$48x+552\times 10=7920$$

552 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$48x+5520=7920$$

Теңдеудің екі жағынан 5520 санын алып тастаңыз.

$$48x=2400$$

Екі жағын да 48 санына бөліңіз.

$$x=50$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=50,y=10$$