{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=20$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$30x+15y=675$$

Теңдеудің екі жағынан 15y санын алып тастаңыз.

$$30x=-15y+675$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

\frac{1}{30} санын -15y+675 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+45}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 42x+20y=940.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

42 санын \frac{-y+45}{2} санына көбейтіңіз.

$$-21y+945+20y=940$$

-21y санын 20y санына қосу.

$$-y+945=940$$

Теңдеудің екі жағынан 945 санын алып тастаңыз.

$$-y=-5$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{45}{2} бөлшегіне -\frac{5}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=20$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=20,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=20,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x және 42x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 42 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 30 санына көбейтіңіз.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

Қысқартыңыз.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 1260x+600y=28200 мәнін 1260x+630y=28350 мәнінен алып тастаңыз.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

1260x санын -1260x санына қосу. 1260x және -1260x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$630y-600y=28350-28200$$

630y санын -600y санына қосу.

$$30y=28350-28200$$

28350 санын -28200 санына қосу.

$$30y=150$$

Екі жағын да 30 санына бөліңіз.

$$y=5$$

42x+20y=940 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$42x+20\times 5=940$$

20 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$42x+100=940$$

Теңдеудің екі жағынан 100 санын алып тастаңыз.

$$42x=840$$

Екі жағын да 42 санына бөліңіз.

$$x=20$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=20,y=5$$