{l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$3y-7x=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 7x санын қосыңыз.

$$3y=7x-9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

\frac{1}{3} санын 7x-9 санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

Басқа теңдеуде \frac{7x}{3}-3 мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 2y+5x=23.

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

2 санын \frac{7x}{3}-3 санына көбейтіңіз.

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

\frac{14x}{3} санын 5x санына қосу.

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$\frac{29}{3}x=29$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{29}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=3$$

y=\frac{7}{3}x-3 теңдеуінде 3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

\frac{7}{3} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$y=7-3$$

-3 санын 7 санына қосу.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=4,x=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

3y және 2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

Қысқартыңыз.

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6y+15x=69 мәнін 6y-14x=-18 мәнінен алып тастаңыз.

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

6y санын -6y санына қосу. 6y және -6y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-14x-15x=-18-69$$

-14x санын -15x санына қосу.

$$-29x=-18-69$$

-18 санын -69 санына қосу.

$$-29x=-87$$

Екі жағын да -29 санына бөліңіз.

$$x=3$$

2y+5x=23 теңдеуінде 3 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$2y+5\times 3=23$$

5 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$2y+15=23$$

Теңдеудің екі жағынан 15 санын алып тастаңыз.

$$2y=8$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=4,x=3$$