{l}{3y=4x+8}{2y-8x=7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y = 4 x + 8 } \\ { 2 y - 8 x = 7 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x=-\frac{5}{16}=-0.3125$$

$$y = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-4x=8$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$3y-4x=8$$

Теңдеудің екі жағына да 4x санын қосыңыз.

$$3y=4x+8$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{3}\left(4x+8\right)$$

\frac{1}{3} санын 8+4x санына көбейтіңіз.

$$y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{8+4x}{3} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 2y-8x=7.

$$2\left(\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}\right)-8x=7$$

2 санын \frac{8+4x}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{8}{3}x+\frac{16}{3}-8x=7$$

\frac{8x}{3} санын -8x санына қосу.

$$-\frac{16}{3}x+\frac{16}{3}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{16}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{16}{3}x=\frac{5}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{16}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=-\frac{5}{16}$$

y=\frac{4}{3}x+\frac{8}{3} теңдеуінде -\frac{5}{16} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=\frac{4}{3}\left(-\frac{5}{16}\right)+\frac{8}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{16} санын \frac{4}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-\frac{5}{12}+\frac{8}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{3} бөлшегіне -\frac{5}{12} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{9}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-4x=8$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\2&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 8-\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\\-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 4x мәнін қысқартыңыз.

$$3y-4x=8$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3y-4x=8,2y-8x=7$$

3y және 2y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3y+2\left(-4\right)x=2\times 8,3\times 2y+3\left(-8\right)x=3\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$6y-8x=16,6y-24x=21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6y-24x=21 мәнін 6y-8x=16 мәнінен алып тастаңыз.

$$6y-6y-8x+24x=16-21$$

6y санын -6y санына қосу. 6y және -6y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-8x+24x=16-21$$

-8x санын 24x санына қосу.

$$16x=16-21$$

16 санын -21 санына қосу.

$$16x=-5$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{5}{16}$$

2y-8x=7 теңдеуінде -\frac{5}{16} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$2y-8\left(-\frac{5}{16}\right)=7$$

-8 санын -\frac{5}{16} санына көбейтіңіз.

$$2y+\frac{5}{2}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{2} санын алып тастаңыз.

$$2y=\frac{9}{2}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=\frac{9}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{9}{4},x=-\frac{5}{16}$$