{l}{3x-y=6}{2x+1/3y=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 6 } \\ { 2 x + \frac { 1 } { 3 } y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-y=6$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$3x=y+6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+6\right)$$

\frac{1}{3} санын y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{3}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{3}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+\frac{1}{3}y=8.

$$2\left(\frac{1}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=8$$

2 санын \frac{y}{3}+2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}y+4+\frac{1}{3}y=8$$

\frac{2y}{3} санын \frac{y}{3} санына қосу.

$$y+4=8$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$y=4$$

x=\frac{1}{3}y+2 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times 4+2$$

\frac{1}{3} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{3}+2$$

2 санын \frac{4}{3} санына қосу.

$$x=\frac{10}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times \frac{1}{3}-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 6+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{2}{3}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-y=6,2x+\frac{1}{3}y=8$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 6,3\times 2x+3\times \frac{1}{3}y=3\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$6x-2y=12,6x+y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+y=24 мәнін 6x-2y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-2y-y=12-24$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-y=12-24$$

-2y санын -y санына қосу.

$$-3y=12-24$$

12 санын -24 санына қосу.

$$-3y=-12$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=4$$

2x+\frac{1}{3}y=8 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+\frac{1}{3}\times 4=8$$

\frac{1}{3} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{4}{3}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{4}{3} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{20}{3}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{10}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{10}{3},y=4$$