{l}{3x-y=19}{2x+7y=5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-y=19$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$3x=y+19$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

\frac{1}{3} санын y+19 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{19+y}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+7y=5.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

2 санын \frac{19+y}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

\frac{2y}{3} санын 7y санына қосу.

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{38}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{23}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

\frac{1}{3} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{19}{3} бөлшегіне -\frac{1}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x+21y=15 мәнін 6x-2y=38 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-21y=38-15$$

-2y санын -21y санына қосу.

$$-23y=38-15$$

38 санын -15 санына қосу.

$$-23y=23$$

Екі жағын да -23 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

2x+7y=5 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

7 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$2x-7=5$$

Теңдеудің екі жағына да 7 санын қосыңыз.

$$2x=12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-1$$