{l}{3x-5y=7}{4x+2y=5} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-5y=7$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$3x=5y+7$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{3} санын 5y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y+7}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+2y=5.

$$4\left(\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=5$$

4 санын \frac{5y+7}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{20}{3}y+\frac{28}{3}+2y=5$$

\frac{20y}{3} санын 2y санына қосу.

$$\frac{26}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{28}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{26}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{26}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3} теңдеуінде -\frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{1}{2} санын \frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{3} бөлшегіне -\frac{5}{6} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 7+\frac{5}{26}\times 5\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 7,3\times 4x+3\times 2y=3\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$12x-20y=28,12x+6y=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+6y=15 мәнін 12x-20y=28 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x-20y-6y=28-15$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-20y-6y=28-15$$

-20y санын -6y санына қосу.

$$-26y=28-15$$

28 санын -15 санына қосу.

$$-26y=13$$

Екі жағын да -26 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{1}{2}$$

4x+2y=5 теңдеуінде -\frac{1}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

2 санын -\frac{1}{2} санына көбейтіңіз.

$$4x-1=5$$

Теңдеудің екі жағына да 1 санын қосыңыз.

$$4x=6$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$