{l}{3x-5y=-16}{2x-2y=-4} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-5y=-16$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$3x=5y-16$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

\frac{1}{3} санын 5y-16 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{5y-16}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-2y=-4.

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)-2y=-4$$

2 санын \frac{5y-16}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}-2y=-4$$

\frac{10y}{3} санын -2y санына қосу.

$$\frac{4}{3}y-\frac{32}{3}=-4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{32}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{4}{3}y=\frac{20}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{4}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5$$

x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

\frac{5}{3} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{25-16}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{16}{3} бөлшегіне \frac{25}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{5}{4}\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{3}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-5y=-16,2x-2y=-4$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x-10y=-32,6x-6y=-12$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-6y=-12 мәнін 6x-10y=-32 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x-10y+6y=-32+12$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-10y+6y=-32+12$$

-10y санын 6y санына қосу.

$$-4y=-32+12$$

-32 санын 12 санына қосу.

$$-4y=-20$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=5$$

2x-2y=-4 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-2\times 5=-4$$

-2 санын 5 санына көбейтіңіз.

$$2x-10=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$2x=6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=5$$