{l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { - 3 x + 4 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x-2y=5$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$3x=2y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын 2y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{2y+5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x+4y=-9.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9$$

-3 санын \frac{2y+5}{3} санына көбейтіңіз.

$$-2y-5+4y=-9$$

-2y санын 4y санына қосу.

$$2y-5=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 5 санын қосыңыз.

$$2y=-4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

\frac{2}{3} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-4+5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне -\frac{4}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x-2y=5,-3x+4y=-9$$

3x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-9x+6y=-15,-9x+12y=-27$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -9x+12y=-27 мәнін -9x+6y=-15 мәнінен алып тастаңыз.

$$-9x+9x+6y-12y=-15+27$$

-9x санын 9x санына қосу. -9x және 9x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-12y=-15+27$$

6y санын -12y санына қосу.

$$-6y=-15+27$$

-15 санын 27 санына қосу.

$$-6y=12$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

-3x+4y=-9 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x+4\left(-2\right)=-9$$

4 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$-3x-8=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$-3x=-1$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{3},y=-2$$