{l}{3x+y=6}{x+3y=6} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 6 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=6$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+6\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{3}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+3y=6.

$$-\frac{1}{3}y+2+3y=6$$

-\frac{y}{3} санын 3y санына қосу.

$$\frac{8}{3}y+2=6$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$\frac{8}{3}y=4$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{8}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{1}{3}y+2 теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}+2$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{3}{2} санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

2 санын -\frac{1}{2} санына қосу.

$$x=\frac{3}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6-\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=6,x+3y=6$$

3x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+y=6,3x+3\times 3y=3\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$3x+y=6,3x+9y=18$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x+9y=18 мәнін 3x+y=6 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+y-9y=6-18$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y-9y=6-18$$

y санын -9y санына қосу.

$$-8y=6-18$$

6 санын -18 санына қосу.

$$-8y=-12$$

Екі жағын да -8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{3}{2}$$

x+3y=6 теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+3\times \frac{3}{2}=6$$

3 санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз.

$$x+\frac{9}{2}=6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$x=\frac{3}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$