{l}{3x+y=2}{x-6y=7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { x - 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=-1$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=2,x-6y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=2$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+2$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x-6y=7.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}-6y=7$$

-\frac{y}{3} санын -6y санына қосу.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{19}{3}y=\frac{19}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{19}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-1$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{2}{3}$$

-\frac{1}{3} санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1+2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне \frac{1}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=2,x-6y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\1&-6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-6\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-6\right)-1}&\frac{3}{3\left(-6\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{1}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 2+\frac{1}{19}\times 7\\\frac{1}{19}\times 2-\frac{3}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=-1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=2,x-6y=7$$

3x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+y=2,3x+3\left(-6\right)y=3\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$3x+y=2,3x-18y=21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 3x-18y=21 мәнін 3x+y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$3x-3x+y+18y=2-21$$

3x санын -3x санына қосу. 3x және -3x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$y+18y=2-21$$

y санын 18y санына қосу.

$$19y=2-21$$

2 санын -21 санына қосу.

$$19y=-19$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=-1$$

x-6y=7 теңдеуінде -1 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x-6\left(-1\right)=7$$

-6 санын -1 санына көбейтіңіз.

$$x+6=7$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=-1$$