{l}{3x+y=2}{5x-y=8} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=2$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+2$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+2 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-y=8.

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

5 санын \frac{-y+2}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

-\frac{5y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{10}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{8}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{7}{4}$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} теңдеуінде -\frac{7}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{7}{4} санын -\frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне \frac{7}{12} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=2,5x-y=8$$

3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-3y=24 мәнін 15x+5y=10 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$5y+3y=10-24$$

5y санын 3y санына қосу.

$$8y=10-24$$

10 санын -24 санына қосу.

$$8y=-14$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{7}{4}$$

5x-y=8 теңдеуінде -\frac{7}{4} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{4} санын алып тастаңыз.

$$5x=\frac{25}{4}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{4}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$