{l}{3x+y=11}{-4x-y=11} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-22$$

$$y=77$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+y=11$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$3x=-y+11$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{3} санын -y+11 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+11}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -4x-y=11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

-4 санын \frac{-y+11}{3} санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

\frac{4y}{3} санын -y санына қосу.

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{44}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$y=77$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} теңдеуінде 77 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

-\frac{1}{3} санын 77 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{3} бөлшегіне -\frac{77}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-22$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-22,y=77$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-22,y=77$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

3x және -4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -12x-3y=33 мәнін -12x-4y=-44 мәнінен алып тастаңыз.

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

-12x санын 12x санына қосу. -12x және 12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y+3y=-44-33$$

-4y санын 3y санына қосу.

$$-y=-44-33$$

-44 санын -33 санына қосу.

$$-y=-77$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=77$$

-4x-y=11 теңдеуінде 77 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-4x-77=11$$

Теңдеудің екі жағына да 77 санын қосыңыз.

$$-4x=88$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$x=-22$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-22,y=77$$