{l}{3x+6y=24}{9x+5y=68} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+6y=24$$

Теңдеудің екі жағынан 6y санын алып тастаңыз.

$$3x=-6y+24$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

\frac{1}{3} санын -6y+24 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+8$$

Басқа теңдеуде -2y+8 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 9x+5y=68.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

9 санын -2y+8 санына көбейтіңіз.

$$-18y+72+5y=68$$

-18y санын 5y санына қосу.

$$-13y+72=68$$

Теңдеудің екі жағынан 72 санын алып тастаңыз.

$$-13y=-4$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-2y+8 теңдеуінде \frac{4}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

-2 санын \frac{4}{13} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

8 санын -\frac{8}{13} санына қосу.

$$x=\frac{96}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x және 9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

Қысқартыңыз.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 27x+15y=204 мәнін 27x+54y=216 мәнінен алып тастаңыз.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

27x санын -27x санына қосу. 27x және -27x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$54y-15y=216-204$$

54y санын -15y санына қосу.

$$39y=216-204$$

216 санын -204 санына қосу.

$$39y=12$$

Екі жағын да 39 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{13}$$

9x+5y=68 теңдеуінде \frac{4}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

5 санын \frac{4}{13} санына көбейтіңіз.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{20}{13} санын алып тастаңыз.

$$9x=\frac{864}{13}$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{96}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$