{l}{3x+5y=9}{2x-5y=1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 9 } \\ { 2 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=9$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y+9$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+9\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y+3$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{3}+3 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-5y=1.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+3\right)-5y=1$$

2 санын -\frac{5y}{3}+3 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{3}y+6-5y=1$$

-\frac{10y}{3} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{25}{3}y+6=1$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{25}{3}y=-5$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{25}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{3}{5}$$

x=-\frac{5}{3}y+3 теңдеуінде \frac{3}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{3}{5}+3$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{3}{5} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1+3$$

3 санын -1 санына қосу.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-5\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-5\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 9+\frac{1}{5}\\\frac{2}{25}\times 9-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=9,2x-5y=1$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 9,3\times 2x+3\left(-5\right)y=3$$

Қысқартыңыз.

$$6x+10y=18,6x-15y=3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-15y=3 мәнін 6x+10y=18 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+10y+15y=18-3$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+15y=18-3$$

10y санын 15y санына қосу.

$$25y=18-3$$

18 санын -3 санына қосу.

$$25y=15$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$y=\frac{3}{5}$$

2x-5y=1 теңдеуінде \frac{3}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-5\times \frac{3}{5}=1$$

-5 санын \frac{3}{5} санына көбейтіңіз.

$$2x-3=1$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$2x=4$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=\frac{3}{5}$$