{l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y+4$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+4}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -3x+4y=11.

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

-3 санын \frac{-5y+4}{3} санына көбейтіңіз.

$$5y-4+4y=11$$

5y санын 4y санына қосу.

$$9y-4=11$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$9y=15$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} теңдеуінде \frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{5}{3} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{4}{3} бөлшегіне -\frac{25}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

3x және -3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -9x+12y=33 мәнін -9x-15y=-12 мәнінен алып тастаңыз.

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

-9x санын 9x санына қосу. -9x және 9x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-15y-12y=-12-33$$

-15y санын -12y санына қосу.

$$-27y=-12-33$$

-12 санын -33 санына қосу.

$$-27y=-45$$

Екі жағын да -27 санына бөліңіз.

$$y=\frac{5}{3}$$

-3x+4y=11 теңдеуінде \frac{5}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

4 санын \frac{5}{3} санына көбейтіңіз.

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{20}{3} санын алып тастаңыз.

$$-3x=\frac{13}{3}$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{13}{9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$