{l}{3x+5y=20}{4x+8y=32} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 20 } \\ { 4 x + 8 y = 32 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=0$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=20,4x+8y=32$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=20$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y+20$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+20\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y+20 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{20}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+20}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x+8y=32.

$$4\left(-\frac{5}{3}y+\frac{20}{3}\right)+8y=32$$

4 санын \frac{-5y+20}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{80}{3}+8y=32$$

-\frac{20y}{3} санын 8y санына қосу.

$$\frac{4}{3}y+\frac{80}{3}=32$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{80}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{4}{3}y=\frac{16}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{4}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{20}{3} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times 4+\frac{20}{3}$$

-\frac{5}{3} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-20+20}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{20}{3} бөлшегіне -\frac{20}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=20,4x+8y=32$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\4&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\32\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\32\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-5\times 4}&-\frac{5}{3\times 8-5\times 4}\\-\frac{4}{3\times 8-5\times 4}&\frac{3}{3\times 8-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{4}\\-1&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\32\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 20-\frac{5}{4}\times 32\\-20+\frac{3}{4}\times 32\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=0,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=20,4x+8y=32$$

3x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$4\times 3x+4\times 5y=4\times 20,3\times 4x+3\times 8y=3\times 32$$

Қысқартыңыз.

$$12x+20y=80,12x+24y=96$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+24y=96 мәнін 12x+20y=80 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+20y-24y=80-96$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y-24y=80-96$$

20y санын -24y санына қосу.

$$-4y=80-96$$

80 санын -96 санына қосу.

$$-4y=-16$$

Екі жағын да -4 санына бөліңіз.

$$y=4$$

4x+8y=32 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x+8\times 4=32$$

8 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$4x+32=32$$

Теңдеудің екі жағынан 32 санын алып тастаңыз.

$$4x=0$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=0$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=0,y=4$$