{l}{3x+5y=1}{2x-3y=0} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { 2 x - 3 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{19}\approx 0.157894737$$

$$y=\frac{2}{19}\approx 0.105263158$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+5y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$3x=-5y+1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{3} санын -5y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-3y=0.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=0$$

2 санын \frac{-5y+1}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}-3y=0$$

-\frac{10y}{3} санын -3y санына қосу.

$$-\frac{19}{3}y+\frac{2}{3}=0$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{19}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{19}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{2}{19}$$

x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3} теңдеуінде \frac{2}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{2}{19}+\frac{1}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2}{19} санын -\frac{5}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{10}{57}+\frac{1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{10}{57} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\\\frac{2}{19}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+5y=1,2x-3y=0$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 5y=2,3\times 2x+3\left(-3\right)y=0$$

Қысқартыңыз.

$$6x+10y=2,6x-9y=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-9y=0 мәнін 6x+10y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+10y+9y=2$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+9y=2$$

10y санын 9y санына қосу.

$$19y=2$$

Екі жағын да 19 санына бөліңіз.

$$y=\frac{2}{19}$$

2x-3y=0 теңдеуінде \frac{2}{19} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-3\times \frac{2}{19}=0$$

-3 санын \frac{2}{19} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{6}{19}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{6}{19} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{6}{19}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{19},y=\frac{2}{19}$$