{l}{3x+4y=5}{5x+5y=7} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 5 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+4y=5$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$3x=-4y+5$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

\frac{1}{3} санын -4y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4y+5}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x+5y=7.

$$5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+5y=7$$

5 санын \frac{-4y+5}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{20}{3}y+\frac{25}{3}+5y=7$$

-\frac{20y}{3} санын 5y санына қосу.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{25}{3}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{4}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3} теңдеуінде \frac{4}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{4}{5}+\frac{5}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{4}{5} санын -\frac{4}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{16}{15}+\frac{5}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{3} бөлшегіне -\frac{16}{15} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&-\frac{4}{3\times 5-4\times 5}\\-\frac{5}{3\times 5-4\times 5}&\frac{3}{3\times 5-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{4}{5}\\1&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5+\frac{4}{5}\times 7\\5-\frac{3}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+4y=5,5x+5y=7$$

3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3x+5\times 4y=5\times 5,3\times 5x+3\times 5y=3\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$15x+20y=25,15x+15y=21$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+15y=21 мәнін 15x+20y=25 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+20y-15y=25-21$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$20y-15y=25-21$$

20y санын -15y санына қосу.

$$5y=25-21$$

25 санын -21 санына қосу.

$$5y=4$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{4}{5}$$

5x+5y=7 теңдеуінде \frac{4}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x+5\times \frac{4}{5}=7$$

5 санын \frac{4}{5} санына көбейтіңіз.

$$5x+4=7$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$5x=3$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$