{l}{3x+2y=4}{6x-2y=-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 6 x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+4$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+4}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-2y=-1.

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=-1$$

6 санын \frac{-2y+4}{3} санына көбейтіңіз.

$$-4y+8-2y=-1$$

-4y санын -2y санына қосу.

$$-6y+8=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$-6y=-9$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{3}{2}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3} теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{4}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{3}{2} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1+\frac{4}{3}$$

\frac{4}{3} санын -1 санына қосу.

$$x=\frac{1}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

3x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$18x+12y=24,18x-6y=-3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 18x-6y=-3 мәнін 18x+12y=24 мәнінен алып тастаңыз.

$$18x-18x+12y+6y=24+3$$

18x санын -18x санына қосу. 18x және -18x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y+6y=24+3$$

12y санын 6y санына қосу.

$$18y=24+3$$

24 санын 3 санына қосу.

$$18y=27$$

Екі жағын да 18 санына бөліңіз.

$$y=\frac{3}{2}$$

6x-2y=-1 теңдеуінде \frac{3}{2} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-2\times \frac{3}{2}=-1$$

-2 санын \frac{3}{2} санына көбейтіңіз.

$$6x-3=-1$$

Теңдеудің екі жағына да 3 санын қосыңыз.

$$6x=2$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$