{l}{3x+2y=23}{2x-2y=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 23 } \\ { 2 x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=23,2x-2y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=23$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+23$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+23\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+23 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{23}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+23}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-2y=2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{23}{3}\right)-2y=2$$

2 санын \frac{-2y+23}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{46}{3}-2y=2$$

-\frac{4y}{3} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{46}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{46}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{10}{3}y=-\frac{40}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{10}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{23}{3} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 4+\frac{23}{3}$$

-\frac{2}{3} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-8+23}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{23}{3} бөлшегіне -\frac{8}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=23,2x-2y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\2&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 23+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 23-\frac{3}{10}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=23,2x-2y=2$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 23,3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$6x+4y=46,6x-6y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-6y=6 мәнін 6x+4y=46 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+4y+6y=46-6$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+6y=46-6$$

4y санын 6y санына қосу.

$$10y=46-6$$

46 санын -6 санына қосу.

$$10y=40$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$y=4$$

2x-2y=2 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-2\times 4=2$$

-2 санын 4 санына көбейтіңіз.

$$2x-8=2$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$2x=10$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=4$$