{l}{3x+2y=17}{5x-y=2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 17 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{21}{13} = 1\frac{8}{13} \approx 1.615384615$$

$$y = \frac{79}{13} = 6\frac{1}{13} \approx 6.076923077$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=17$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+17$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+17\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+17 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+17}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-y=2.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3}\right)-y=2$$

5 санын \frac{-2y+17}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{85}{3}-y=2$$

-\frac{10y}{3} санын -y санына қосу.

$$-\frac{13}{3}y+\frac{85}{3}=2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{85}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{13}{3}y=-\frac{79}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{13}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{79}{13}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{17}{3} теңдеуінде \frac{79}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{79}{13}+\frac{17}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{79}{13} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{158}{39}+\frac{17}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{17}{3} бөлшегіне -\frac{158}{39} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{21}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{5}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 17+\frac{2}{13}\times 2\\\frac{5}{13}\times 17-\frac{3}{13}\times 2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{13}\\\frac{79}{13}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=17,5x-y=2$$

3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 17,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 2$$

Қысқартыңыз.

$$15x+10y=85,15x-3y=6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-3y=6 мәнін 15x+10y=85 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+10y+3y=85-6$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+3y=85-6$$

10y санын 3y санына қосу.

$$13y=85-6$$

85 санын -6 санына қосу.

$$13y=79$$

Екі жағын да 13 санына бөліңіз.

$$y=\frac{79}{13}$$

5x-y=2 теңдеуінде \frac{79}{13} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-\frac{79}{13}=2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{79}{13} санын қосыңыз.

$$5x=\frac{105}{13}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{21}{13}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{21}{13},y=\frac{79}{13}$$