{l}{3x+2y=16k}{5x-4y=-10k} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 16 k } \\ { 5 x - 4 y = - 10 k } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2k$$

$$y=5k$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=16k$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+16k$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+16k\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+16k санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+16k}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5x-4y=-10k.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3}\right)-4y=-10k$$

5 санын \frac{-2y+16k}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{80k}{3}-4y=-10k$$

-\frac{10y}{3} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{80k}{3}=-10k$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{80k}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{110k}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{22}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5k$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{16k}{3} теңдеуінде 5k мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 5k+\frac{16k}{3}$$

-\frac{2}{3} санын 5k санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-10k+16k}{3}$$

\frac{16k}{3} санын -\frac{10k}{3} санына қосу.

$$x=2k$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2k,y=5k$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16k\\-10k\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 16k+\frac{1}{11}\left(-10k\right)\\\frac{5}{22}\times 16k-\frac{3}{22}\left(-10k\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k\\5k\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2k,y=5k$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=16k,5x-4y=-10k$$

3x және 5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 16k,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\left(-10k\right)$$

Қысқартыңыз.

$$15x+10y=80k,15x-12y=-30k$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x-12y=-30k мәнін 15x+10y=80k мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x+10y+12y=80k+30k$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y+12y=80k+30k$$

10y санын 12y санына қосу.

$$22y=80k+30k$$

80k санын 30k санына қосу.

$$22y=110k$$

Екі жағын да 22 санына бөліңіз.

$$y=5k$$

5x-4y=-10k теңдеуінде 5k мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5x-4\times 5k=-10k$$

-4 санын 5k санына көбейтіңіз.

$$5x-20k=-10k$$

Теңдеудің екі жағына да 20k санын қосыңыз.

$$5x=10k$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=2k$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2k,y=5k$$