{l}{3x+2y=1}{7x+3y=-1} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 7 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-1$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=1,7x+3y=-1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+3y=-1.

$$7\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+3y=-1$$

7 санын \frac{-2y+1}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{7}{3}+3y=-1$$

-\frac{14y}{3} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}=-1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{7}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{1}{3}$$

-\frac{2}{3} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-4+1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{4}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=1,7x+3y=-1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{3\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{3\times 3-2\times 7}&\frac{3}{3\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{7}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\left(-1\right)\\\frac{7}{5}-\frac{3}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-1,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=1,7x+3y=-1$$

3x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$7\times 3x+7\times 2y=7,3\times 7x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Қысқартыңыз.

$$21x+14y=7,21x+9y=-3$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 21x+9y=-3 мәнін 21x+14y=7 мәнінен алып тастаңыз.

$$21x-21x+14y-9y=7+3$$

21x санын -21x санына қосу. 21x және -21x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$14y-9y=7+3$$

14y санын -9y санына қосу.

$$5y=7+3$$

7 санын 3 санына қосу.

$$5y=10$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=2$$

7x+3y=-1 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+3\times 2=-1$$

3 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$7x+6=-1$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$7x=-7$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-1,y=2$$