{l}{3x+2y=1}{2x-7y=-2} шешу

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 1 } \\ { 2 x - 7 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3}{25}=0.12$$

$$y=\frac{8}{25}=0.32$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$3x+2y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$3x=-2y+1$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+1\right)$$

\frac{1}{3} санын -2y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+1}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-7y=-2.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-7y=-2$$

2 санын \frac{-2y+1}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}-7y=-2$$

-\frac{4y}{3} санын -7y санына қосу.

$$-\frac{25}{3}y+\frac{2}{3}=-2$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{2}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{25}{3}y=-\frac{8}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{25}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{8}{25}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} теңдеуінде \frac{8}{25} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{8}{25}+\frac{1}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{8}{25} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{16}{75}+\frac{1}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{3} бөлшегіне -\frac{16}{75} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{3}{25}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-2\times 2}&-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{3\left(-7\right)-2\times 2}&\frac{3}{3\left(-7\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\\\frac{2}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}+\frac{2}{25}\left(-2\right)\\\frac{2}{25}-\frac{3}{25}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\\\frac{8}{25}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$3x+2y=1,2x-7y=-2$$

3x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына көбейтіңіз.

$$2\times 3x+2\times 2y=2,3\times 2x+3\left(-7\right)y=3\left(-2\right)$$

Қысқартыңыз.

$$6x+4y=2,6x-21y=-6$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6x-21y=-6 мәнін 6x+4y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$6x-6x+4y+21y=2+6$$

6x санын -6x санына қосу. 6x және -6x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4y+21y=2+6$$

4y санын 21y санына қосу.

$$25y=2+6$$

2 санын 6 санына қосу.

$$25y=8$$

Екі жағын да 25 санына бөліңіз.

$$y=\frac{8}{25}$$

2x-7y=-2 теңдеуінде \frac{8}{25} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-7\times \frac{8}{25}=-2$$

-7 санын \frac{8}{25} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{56}{25}=-2$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{56}{25} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{6}{25}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{3}{25}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3}{25},y=\frac{8}{25}$$